3x + 2y + K =0 রেখাটি $x^2+y^2-8x-2y-4=0$ বৃত্তকে স্পর্শ করলে K এর একটি মান -

একটি রেখা একটি বৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত হলো, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে রেখাটির লম্ব দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান হবে। এই নীতি ব্যবহার করে আমরা K এর মান নির্ণয় করব।

বিস্তারিত সমাধান:

প্রথমে, প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ থেকে কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করি।

বৃত্তের সমীকরণ: \(x^2 + y^2 - 8x - 2y - 4 = 0\)

আমরা জানি, বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ \(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\) হলে, এর কেন্দ্র হয় \((-g, -f)\) এবং ব্যাসার্ধ হয় \(r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}\)।

প্রদত্ত সমীকরণকে সাধারণ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই:

    
• \(2g = -8 \Rightarrow g = -4\)
    
• \(2f = -2 \Rightarrow f = -1\)
    
• \(c = -4\)

সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র \((h, k) = (-g, -f) = (-(-4), -(-1)) = (4, 1)\)।

এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(r = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2 - (-4)}\)

\(r = \sqrt{16 + 1 + 4}\)

\(r = \sqrt{21}\)

এবার, প্রদত্ত রেখার সমীকরণটি হলো: \(3x + 2y + K = 0\)।

বৃত্তের কেন্দ্র \((4, 1)\) থেকে এই রেখার লম্ব দূরত্ব নির্ণয় করি। কোনো বিন্দু \((x_1, y_1)\) থেকে \(Ax + By + C = 0\) রেখার লম্ব দূরত্বের সূত্র হলো \(d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)।

এখানে, \((x_1, y_1) = (4, 1)\), \(A = 3\), \(B = 2\), \(C = K\)।

লম্ব দূরত্ব \(d = \frac{|3(4) + 2(1) + K|}{\sqrt{3^2 + 2^2}}\)

\(d = \frac{|12 + 2 + K|}{\sqrt{9 + 4}}\)

\(d = \frac{|14 + K|}{\sqrt{13}}\)

রেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করলে, লম্ব দূরত্ব \(d\) ব্যাসার্ধ \(r\) এর সমান হবে।

\(d = r\)

\(\frac{|14 + K|}{\sqrt{13}} = \sqrt{21}\)

\(|14 + K| = \sqrt{13} \times \sqrt{21}\)

\(|14 + K| = \sqrt{13 \times 21}\)

\(|14 + K| = \sqrt{273}\)

এখন, পরম মান (absolute value) তুলে দিলে আমরা দুটি সম্ভাবনা পাই:

\(14 + K = \sqrt{273}\) অথবা \(14 + K = -\sqrt{273}\)

কেস 1: \(K = \sqrt{273} - 14\)

কেস 2: \(K = -\sqrt{273} - 14\)

আমরা জানি \(\sqrt{273}\) এর মান প্রায় 16.52।

\(K \approx 16.52 - 14 \approx 2.52\)

\(K \approx -16.52 - 14 \approx -30.52\)

প্রদত্ত অপশনগুলো হলো: 1, 27, 5, -1। প্রাপ্ত K এর কোনো মানই এই অপশনগুলোর সাথে মিলে না।

প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয়।